Многие математические объекты, такие как наборы чисел и функций, обладают внутренней структурой. Структурные свойства этих объектов исследуются при изучении групп, колец, полей и других абстрактных систем, которые сами являются такими объектами. Это область абстрактной алгебры.
математика
Важным понятием здесь является понятие векторов, обобщенное на векторные пространства и изучаемое в линейной алгебре. Изучение векторов объединяет три фундаментальные области математики: количество, структуру и пространство. Векторное исчисление расширяет эту область до четвертой фундаментальной области - области изменений. Тензорное исчисление изучает симметрию и поведение векторов при вращении. Ряд древних задач, касающихся построения циркуля и линейки, были окончательно решены с использованием теории Галуа.

Основы и философия

Для того, чтобы прояснить основы математики, были разработаны области математической логики и теории множеств, а также теория категорий, которая все еще находится в стадии разработки. Фраза “кризис основ” описывает поиск строгого фундамента для математики, который происходил примерно с 1900 по 1930 год. Некоторые разногласия по поводу основ математики продолжаются и по сей день. Кризис основ был вызван рядом противоречий в то время, включая полемику по поводу теории множеств Кантора и полемику Брауэра-Гильберта.
https://qpotok.ru/matematika/temy-po-ma … j792821537
Математическая логика связана с постановкой математики на строгую аксиоматическую основу и изучением результатов такой основы. Как таковая, она является родиной второй теоремы Геделя о неполноте, возможно, наиболее широко известного результата в логике, который (неофициально) подразумевает, что любая формальная система, содержащая базовую арифметику, если она правильна (это означает, что все теоремы, которые могут быть доказаны, истинны), обязательно неполная (это означает, что существуют истинные теоремы, которые не могут быть доказаны в этой системе).

Гедель показал, как построить, независимо от заданного набора теоретико-числовых аксиом, формальное утверждение в логике, которое является истинным теоретико-числовым фактом, но которое не следует из этих аксиом. Следовательно, никакая формальная система не является истинной аксиоматизацией теории полных чисел. Современная логика делится на теорию рекурсии, теорию моделей и теорию доказательств и тесно связана с теоретической информатикой.